РЕШУ ЦТ

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 2780 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 1

Тригонометрические уравнения

Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $синус 22x плюс синус 2x = 0$ на промежутке [–⁠40°; –⁠5°].

Решение.

Воспользуемся формулой суммы синусов:

$синус 22x плюс синус 2x = 0 равносильно 2 синус 12x косинус 10x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 12x = 0, косинус 10x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 12x = Пи k, 10x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 22x плюс синус 2x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус 12x косинус 10x = 0 равносильно совокупность выражений синус 12x = 0, косинус 10x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 12x = Пи k, 10x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

Корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби правая квадратная скобка ,$ найдем при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:

$минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 12 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно$
$равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 3 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$

Полученным значениям параметра соответствуют числа $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Для второй серии корней получаем:

$минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 49 Пи , знаменатель: 180 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 90 конец дроби равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 18 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 9 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 36 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 49 Пи , знаменатель: 180 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 90 конец дроби равносильно$
$равносильно минус целая часть: 2, дробная часть: числитель: 13, знаменатель: 18 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 9 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$

Полученным значениям параметра соответствуют числа $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 20 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби .$

Сумма найденных чисел равна

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 20 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 20 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби = минус дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 20 конец дроби ,$

то есть  $минус 81 градусов.$

Ответ: − 81.

Ответ: -81

Аналоги к заданию № 2780: 2810 Все

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 1

РешениеСпрятать решение · Помощь

Задание № 2810 Добавить в вариант

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 2

Тригонометрические уравнения

Найдите (в градусах) сумму различных корней уравнения $синус 13x плюс синус 7x = 0$ на промежутке [–⁠60°; –⁠15°].

Решение.

Воспользуемся формулой суммы синусов:

$синус 13x плюс синус 7x = 0 равносильно 2 синус 10x косинус 3x = 0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус 10x = 0, косинус 3x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 10x = Пи k, 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$ $синус 13x плюс синус 7x = 0 равносильно$
$равносильно 2 синус 10x косинус 3x = 0 равносильно совокупность выражений синус 10x = 0, косинус 3x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 10x = Пи k, 3x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби , x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

Корни, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби правая квадратная скобка ,$ найдем при помощи двойных неравенств. Для первой серии корней получаем:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби равносильно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 3, k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: k, знаменатель: 10 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби равносильно$
$равносильно минус целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений k = минус 3, k = минус 2, k = минус 1. конец совокупности .$

Полученным значениям параметра соответствуют числа $минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби .$

Для второй серии корней получаем:

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби равносильно минус целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 1.$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 12 конец дроби равносильно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби равносильно$
$равносильно минус целая часть: 1, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби \underset k принадлежит Z \mathop равносильно k = минус 1.$

Полученному значению параметра соответствует число  $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Сумма найденных чисел равна

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 5 конец дроби минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби = минус дробь: числитель: 23 Пи , знаменатель: 30 конец дроби ,$

то есть  $минус 138 градусов.$

Ответ: − 138.

Ответ: -138

Аналоги к заданию № 2780: 2810 Все

Источник: Централизованный экзамен. Математика: полный сборник тестов, 2025 год. Вариант 2

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе